🏠

琥珀里来的欧几里得：《几何原本》重绘篇

欧几里得正忙于撰写他的新书《几何原本》。他的文字写在纸莎草纸上，他的插图也画在纸莎草纸上。他有一把尺子。他有一幅圆规。

然而有一天，也是已入深秋，天气转凉的当口，他的老友斐洛（ \( \Phi\iota\lambda\omega\nu \) ）——一个精力过剩、对数学一窍不通、却热衷于“传播知识”的雅典船主——突然要求他必须以“电子形式”提交。欧几里得争辩说，电子技术要到数千年后才会被发现；但斐洛告诉他：

1. 纸莎草纸早已不再是尖端科技，
2. Till Tantau 和 Alain Matthes 两位大神已携 TikZ 与 tkz-euclide 御风而来。

TikZ 最初只是 Till Tantau 为自己的论文和课程绘图而写的工具，后来却成了 LaTeX 世界最流行的绘图宏包之一。Alain Matthes 则是 tkz-euclide 的作者，法国数学教师。他开发这个宏包，是为了让欧几里得几何作图的代码更贴近几何构造本身；用他的话说，它面向的是“以数学方式、甚至更好的是以几何方式思考的人”。两位作者背景不同，却共同支撑起从通用绘图到纯几何作图的工具链。

欧几里得眼见二位大神不入凡尘，似乎远超古人，心想：我这公元前的上古老登也就知道摩擦琥珀能产生电子，难不成要把《几何原本》写到琥珀之上？他略微思索，缓缓转向 Till，说：

“Till 大神，”欧几里得指着上图，“这是《几何原本》第一卷的第一个命题。我如何把它摹印到琥珀之上？”

不料 Till Tantau 大神一听，纳头便拜，口称：“欧老前辈！晚辈实在不敢当大神二字。欧氏几何的源头在您那儿，坐标思想来自笛老前辈，排版基础是高老前辈打造的 TeX ；我这个 TikZ 不过是雕虫小技，何足挂齿呢？”

Alain Matthes 也抢上前来，口中喃喃：“前辈， tkz-euclide 就是以您命名的呀——”

欧几里得眼见二位神色慌张、手足无措，对他们所行的礼节也不太明白，心想：第一，他们来自未来，这是条我必须承认的公理；第二，他们能回转时光，必然是《几何原本》的公理化思想传到了他们那里。那是传走了样么？还是他们没学会？抑或我问题的表述有误？转念又想，能用电子在琥珀上刻字、刻完还可任时光回转，无论人神，一定了得。于是伸手把二位搀扶起来，说：

“咱们都是数学家，一家人不说两家的话。数学家不仅要读懂宇宙的道，还要能写宇宙的道。我现在《几何原本》开篇的命题，在给定线段上作等边三角形，如何写到琥珀之上？知我所不知者，可为我师。二位老师如有所知还请明示。”

Till 拿出自己的笔记本电脑（Laptop），打开，屏幕亮起，后有毒智慧果（图灵咬过）透出琥珀的微光。欧几里得定睛观瞧，看这神器好似琥珀，怎么有大千宇宙集于微沙的气质呢？

Till 说：“欧老前辈，还请近前来，看我屏幕；不要只盯后面看”，打开 Emacs ，开启 org mode ：“我要先画两个点，然后用蓝色的线把他们连起来。”

欧几里得眼见屏幕上出现两个点，一条蓝色线段连在它们之间。这本没有什么稀奇，两点连一线么。但见代码 \coordinate (A) at(0,0) 坐标概念甚是新奇。想必 A 是给坐标点起个名字，而 (0,0) 一个数值对表明点的位置！在一个平面上 （0,0） 可以表示一个点的位置吗？推而广之 （x,y) 可以表示平面上一个点的位置吗？看起来可以，但需要一个严格的证明。退一步， (x) 可以表示直线上一个点吗？可以！这在之前证明过。进一步, (x, y, z) 可以表示三维空间一个点吗？应该也是可以的，但缺少一个严格的证明——欧几里得神游物外，一道道闪电划过脑海，感觉 Till 真是天才：“ Till大神，你可真是天才呀，坐标的概念是我一辈子想不出的，感觉您参与了宇宙的构建——”

Till 哪敢当此？连忙说这坐标概念是笛卡尔笛老前辈的创造。当然，笛老前辈也是我们叫，他对您来说也是晚了几千年的后辈。既然说到这里，那我就把坐标以及坐标系的意思也画上面吧。

“您看图中的 x ， y 轴，可以把它们理解为您有刻度的两把直尺，垂直放置。至于笛前辈怎么想到的坐标系，我就不知道了。” Till 接着说到，“您知道硅基生命只认识数，由坐标系的概念，我们可以把一切的图形表示为数——”

“硅基生命？”欧几里得不由打断，“是琥珀聚灵而生的生命形式吗？”

“不是。琥珀就我的理解是树脂吧？Alain, 是不是树脂？” Till 问。

“是吧，是树脂的化石，确切讲很多琥珀是松树的眼泪经年累月形成的化石。”

“那就是了，而硅基的生命由沙提炼，以硅为体，以电为食，以信息为血液的流动——”

欧几里得大脑电闪雷鸣，他坚韧地思想，深秋午后，太阳和暖普照亚历山大大地，我尽量平心静气，安于在公元前细细雕琢我的《几何原本》，如今这3000年的2 个后辈，带来坐标以及坐标系的思想，将我的几何转化为数字，喂与硅基的生命。他顽强地牢记这可是秋日的午后，公元前的秋日，和暖的阳光普照大地，如此才能平静脑中血液——我可是长寿之人呀，这是写在历史书里的，不可改变。于是压一下心潮，问关于笛卡尔的事情。

Till 说，笛卡尔也是神人哪，他曾说过，我思故我在。现在的硅基生命，正是基于这一点而存在。谁也不能否认硅基生命在思考，或者换一个说法，训练或推理，因此硅基生命是存在的。

这几句话对欧几里得无异于氢弹的爆发！他坚韧的思想逼迫他使劲摇了摇头，紧咬牙关心想不想这些有的没的了，凑近 Till屏幕看了看：

“这两点你写死了。可我的命题不关心它们在哪里——给定的线段就是给定的，任意画一条即可。你写死坐标，读者会以为这两个位置有什么特殊。”

Till 点点头：“你说得对。TikZ 里可以给坐标加一点扰动。”

\coordinate (A) at (0+0.1*rand,0+0.1*rand);
\coordinate (B) at (1.25+0.1*rand,0.25+0.1*rand);

“每次编译，A 和 B 都会随机挪动一点。每一次都是新的线段，读者就不能把任何位置当成理所当然。”

欧几里得愣了一下：“每编译一次，图就变一次？这倒有意思。但你能不能把‘主坐标’和‘扰动’分开？我想让读者看清楚，我指定的仍然是 (0,0) 和 (1.25,0.25) ，只是外面加了一点微扰。”

“可以。”Till 加载了 calc 库：

欧几里得盯着看了一会儿，说：“ \$ ... \$ 这是做什么的？”

“这是 TikZ 的坐标运算语法。方括号里的两点，先按通常的坐标去理解，但外面这一对 \$ 告诉 TikZ ：里面是算式，不是坐标。所以 \$ (0,0) + .1*(rand,rand) \$ 的意思就是‘点 (0,0) 加上一个随机小向量’。主坐标还是 (0,0) ，扰动是外面的 .1 倍随机数。”

欧几里得点头：“这样好。读者一眼能认出，AB 的‘骨架’是 (0,0) 到 (1.25,0.25)，剩下的都是装饰。笛卡尔真是个聪明人，这坐标的思想，我一下子又想不出来。”晃晃脑袋，“为什么说 又 ？”

“还有一个细节。”Till 补充，“如果算式里有乘法，比如这里的 .1* ，星号要紧贴在左括号前面写，不能有空格。”

欧几里得陷入沉思，“未来的人聪明是肯定，但这空格的约定谁又一下子就知道呢？”，他想，“这么约定的合理性又在哪里呢？”

“现在，”Till 说，“以 A 为圆心、 AB 为半径画圆。”

欧几里得问：“半径是多少？”

“这正是麻烦的地方。 AB 是一条线段，它的长度需要用坐标算出来。”

欧几里得看着这段代码，皱起眉头：“ let 是什么？ \p1 又是什么？我的作法里，‘以 A 为圆心、 AB 为半径画圆’一句话就够了。”

Till 解释：“ let ... in ... 是 TikZ 里的临时赋值语法。 \$ (B) - (A) \$ 算出来的是从 A 指向 B 的向量， let 把它存到一个临时名字 \p1 里。然后 \x1 和 \y1 就是这个向量的横纵坐标。 veclen(\x1,\y1) 算出它的长度——也就是 AB 的长。”

“所以 veclen 是你的‘圆规’？”

“可以这么说。它做的是勾股定理。”

欧几里得盯着那段代码看了几秒，又看了一遍，然后说：“那我每画一个圆，都要把 AB 的长重算一遍？”

“不用，可以用另一个变量记下长度。” Till 重写，

“这次我把长度存在 \n2 里。一条 let ，画两个圆。 \p1 是‘点’（point）， \n2 是‘数’（number）。它们各有各的命名空间， \p1 和 \n1 互不干扰， \x1 和 \y1 绑在同一个点上。”

欧几里得若有所思：“所以你的意思是，‘数’和‘点’要分开存。这个思路倒也清楚。”

“其实还能更简单。”Till 说着加载了 through 库

“ circle through=(B) 直接告诉 TikZ：‘画一个圆，过 B 点，圆心在我指定的位置上。’半径的计算 TikZ 自己在内部做了。”

欧几里得看着屏幕上这个圆，说：“这个写法，和我说的‘以 A 为圆心、 AB 为半径’几乎一模一样。前一种写法里，我不得不念一段口诀；后一种才是我的几何。”

“现在，”Till 说，“以 B 为圆心、 BA 为半径，画第二个圆。然后求两圆交点。”

欧几里得看到屏幕上多出来一个点 C，还有 AC、BC 两条红线，连成一个三角形。

“这就画好了？”他有点意外，“我以为最难的一步会是找交点。”

Till 说：“难点在‘告诉机器哪两条路径要相交’。所以前面画圆时我给它们起了名字： name path=D 和 name path=E 。然后用 name intersections={of=D and E} 让 TikZ 去找它们的交点。找到的交点按顺序命名为 intersection-1 、 intersection-2 。”

“它们默认会叫 intersection-1=、=intersection-2 ，”欧几里得重复了一遍，“所以我要自己把它们绑到 C 这个坐标上。”

“对。不过也可以一步到位。”

Till 又写了一段：

\path [name intersections={of=D and E,
  by={[label=above:$C$]C,
    [label=below:$C'$]C'}}];

“用 by 参数，TikZ 直接把第一个交点命名为 C，第二个命名为 C'。我连 intersection-1 这种名字都不用看见。”

欧几里得点点头：“这个好。直接给我 C ，我就只需要想几何。”

Till 把前面几步拼起来，加上一些颜色和层次，形成了最终版本：

欧几里得看完整个代码，沉默了一会儿。

“你用了 rand 让 A 和 B 每次编译都微微移动，”他说，“你用了 calc 把主坐标和扰动分开，你用了 through 让圆规的半径自动计算，你用了 intersections 让交点自己浮现。最后你把三角形铺在背景层，让两条红线浮在前面。”

“还有 pgfonlayer ，”Till 补充，“ backgrounds 库负责让三角形不挡住别的线。”

欧几里得点点头：“图是画出来了。可是 Till 大神，我数了数——从定义 A 和 B 到画出三角形，你用了六个库，写了几十行，中间还算了一次 veclen ，命名了一次路径，求了一次交点。”

Till 笑了：“是。TikZ 是通用工具。它能画任何东西，所以画一个纯粹的欧几里得几何图时，你得做很多与几何无关的事——给路径起名字、算长度、管理命名空间。”

欧几里得把目光从屏幕移到窗外，像是在想什么。然后他问：“有没有一种工具，让我只说我心里的几何，剩下的硅基生命去做？”

Till 转过头，朝 Alain 的方向看了一眼，心说，Alain，看你的表演。你只需要复刻最后一幅图的左边部分就可以了。也就是这个:

Alain 打开自己电脑，一台安装 CachyOS（Arch Linux）的笔记本电脑，暗蓝色发出沉沉的光。他早已看出欧几里得为了生命的漫长，而选择对激烈思考的逃避，他尽量慢地打开Emacs开启 Org Mode缓缓写下：

\usepackage{tkz-euclide}

欧几里得问：“就一个？你看刚才，Till 用了六个库。” Till略显惭愧，笑了笑。“而且你这宏包名字， tkz 显然是致敬 TikZ ，而 euclide 又是在致敬太古老登我吧：）”

“暂时就一个。”Alain 说，“ tkz-euclide 自己会去加载它需要的底层库。”

他继续写，“我认真读您的书，自认大体明白您的心意。你看我定义两个点”

欧几里得看了看，心想Alain定义了两个点，脑海里清晰至极，屏幕上一片空白。他想拿“写死坐标，任意给定线段”说事儿，又觉得没啥意思。存在于脑海中概念，要表达出来，都得是具体写死的。所谓“此中有真意，欲辨已忘言”，也许确有其事，但那“真意”是否想清楚了，倒是也必须打大大的折扣呢。

Alain 看着思索中的欧几里得笑了：“这只是一个起点。TikZ 用 \coordinate 定义点，我用 \tkzDefPoint 。名字不同，功能一样。‘任意’这件事，我们后面再谈。我接着画两个圆。”

欧几里得愣了一下：“一条命令，画两个圆？”

“对。 A,B 的意思是‘以 A 为圆心、过 B 点’， B,A 的意思是‘以 B 为圆心、过 A 点’。”

欧几里得回味了一下这句话，说：“Till 那段代码里，我数了： name path 两次， circle through 两次，还有一次 veclen 。你这里，一行。”

“还不止，”Alain 说，“Till 写这个圆，靠的是 through 库。你的圆规得先算 AB 的长，再把它传给圆规。我这里， tkz-euclide 直接理解‘过 B 点’——半径怎么算，是它的事。”

Till 有点尴尬地笑。Alain 继续取两圆的交点：

欧几里得盯着这段代码看了几秒，问：“这个 \tkzInterCC 就是……两圆相交？”

“对。 Inter 是 intersection， CC 是 circle-circle。两个圆 A,B 和 B,A 有两个交点， \tkzGetPoints{C}{D} 就把它们分别命名为 C 和 D。”

欧几里得沉默了片刻。

“Till 得先给两条路径起名字，再告诉机器 of=D and E ，然后从一堆 intersection-1 、 intersection-2 里挑一个。而你，只说了一句‘两圆相交’，交点就自己有了名字。”

Alain 点点头：“因为 tkz-euclide 知道这是两圆相交。它不需要你告诉它‘这是路径’。它知道圆是什么。”

Alain 接着画：

欧几里得说：“这些命令，全写到我的心巴里。”

“ DrawCircles 是画圆， DrawPolygon 是画多边形， DrawPoint 是画点， LabelPoint 是标标签。你告诉我你要画什么几何对象，我就画什么。”

“Till 那段代码里，画三角形要 \draw (A) -- (C) -- (B) ，画点是 \foreach ... \fill ... circle ，画标签藏在 \coordinate [label...] 里。看起来是在做几何，实际上是在控制路径。”

Alain 说：“ tkz-euclide 的每个命令，都对应一个几何动作。你看这个宏包的名字： tkz 是 Till 的 TikZ 传统， euclide 是你的《几何原本》。”

Alain 把代码整理成一个完整的文件。他给 B 取了点随机。他把三角形涂上橘色。

欧几里得从头到尾读了一遍。他数了数，一共十行。

“Till 那张图，”他说，“我数了超过三十行，用了六个库，定义了五个颜色和五个标签宏，命名了两条路径，算了一次长度，求了一次交点，还有一层背景。”

“而你这里，”他顿了顿，“你只是把我脑子里想的事情，一件一件说出来。”

Alain 说：“这就是为什么我写这个宏包。我教数学，我知道几何作图时脑子里想的是什么——点、圆、交点、三角形、标签。 tkz-euclide 让你写出来的代码，和你想的东西一一对应。”

欧几里得看着屏幕，说：“这就像……”

他停了一下，像是在找一个合适的说法。

“这就像用圆规和直尺作图：圆规只管画圆，直尺只管画直线。我不需要知道圆规里的弹簧怎么工作，也不需要知道直尺上的刻度是怎么刻上去的。”

Alain 笑了：“对。 tkz-euclide 就是给你的电子圆规和电子直尺。”

欧几里得看着屏幕上那个等边三角形，沉默了片刻，说：“第一题，是告诉你们，等边三角形可以作。但一个命题的价值，不在它自己能做什么，而在它能帮后面的命题做什么。”

他翻开《几何原本》第一卷，指着第二个命题：

“这是第二题。”欧几里得说，“在给定的点上，作一条线段，长度等于给定的线段。看似比第一题简单——我只是把一条线段的长度搬到另一个地方去。但怎么搬？你不能把长度装进箱子，也不能把它量出来再画一遍，因为那样就依赖‘长度’这个概念了，而我在第一卷里还没有定义长度。我只能用圆规和直尺，用第一题给我的东西，把它搬过去。”

他看了看 Till，又看了看 Alain：“第一题里，你们各自用不同的方式画了一个等边三角形。第二题里，我看你们怎么把这个三角形用起来。”

Till 点点头，打开 Emacs 说：“欧老前辈，第二题的第一步和第一题一样，定义三个点。”

屏幕上出现三个点：A、B、C。B–C 是一条蓝线，A–B 是一条浅灰线。

欧几里得说：“BC 是给定的线段，A 是给定的点。我要在 A 点作一条线段，长度等于 BC。”

“我知道。”Till 说，“第一步是作等边三角形。以 AB 为边，向外作等边三角形ABD。这一步我在第一题里做过。”

他写下：

欧几里得看了看那行 D 的坐标，问：“ !.5! 、 ! {sin(60)*2} ! 、 ! 90:(B) ，这是什么？”

Till 说：“这是 TikZ 的‘部分路径’计算。 \$ (A)!.5!(B) \$ 取 AB 的中点； \$ ... ! {sin(60)*2} ! 90:(B) \$ 把那个点绕着 A 旋转 90 度，再乘以 sin(60)*2 这个比例。这是手工算等边三角形顶点坐标的公式。”

欧几里得皱了皱眉：“所以你不是在作等边三角形，你是在算它的坐标。”

“是。”Till 老实说，“TikZ 里没有‘作等边三角形’这条命令。我只能用坐标公式把它算出来。”

Alain 在一旁没有出声。

“继续。”欧几里得说。

Till 接着写：“下一步，把 D–A 和 D–B 两条线延长出去。然后以 B 为圆心、经过 C 画一个圆 H。”

欧几里得看着那个圆 H，问：“ D--F 这条线，你延长了多少？”

“ 3.5 倍 DB 的长度。”Till 说，“因为我不知道圆 H 会和 DF 交在哪里，只能估一个足够长的倍数，保证它一定穿过圆 H 。”

“你估的？”

“我估的。”

欧几里得点点头，没有评价。

Till 接着写：“现在求圆 H 和直线 BF 的交点 G 。这里我又得给圆起名字，给线起名字，然后求交点。”

欧几里得盯着那段代码看了几秒。他看到了 name path 、 name intersections 、 of 、 by 这些词，和第一题里一样。他知道 Till 又要给路径起名字，又要让机器去找交点。

“还有几步？”他问。

“还有三步。”Till 说，“以 D 为圆心、经过 G 画圆 K ；求圆 K 与直线 AE 的交点 L ；然后连接 A--L 。”

欧几里得看完了。他没有马上开口。

过了几秒，他说：“Till 大神，我数了一下：这道题，你用了 calc 、 intersections 、 through 三个库；定义了 E 、 F 、 G 、 H 、 K 、 L 六个点；给两条路径起了名字；求了两次交点；还手工估了一次延长的倍数。”

Till 说：“是。”

“第一题你也用了六个库，写了几十行。第二题，你没少写。”欧几里得说，“但我注意到一件更有意思的事：你每一步都知道自己在干什么。你知道 D 是等边三角形的顶点，你知道 G 是圆 H 和 BF 的交点，你知道 L 是圆 K 和 AE 的交点。你全都知道。”

Till 说：“是。”

“但你的代码里，”欧几里得说，“ D 是 !.5! 加 sin(60)*2 加 90:(B) 算出来的， G 是 name intersections 找出来的， L 是 name intersections 又找出来的。你心里的‘等边三角形’、‘交点’、‘交圆’，到屏幕上变成了坐标、路径、命名空间。中间隔了一层。”

Till 沉默了一下，说：“是隔了一层。TikZ 是通用工具，它不知道什么是圆，什么是交点，什么是等边三角形。它只知道路径和坐标。所以我得把几何翻译成路径和坐标。”

欧几里得说：“这一点我在第一题里已经看到了。但第二题让我看得更清楚。”

他转过头，看着 Alain。

Alain 早就准备好了。他把笔记本电脑转过来，屏幕上是他刚才在 Emacs 里写下的东西：

欧几里得从头到尾看了一遍。他指着第二行：

“ \tkzDefTriangle[equilateral](A,B)\tkzGetPoint{D} 。”

“这是……作等边三角形？”

“对。”Alain 说，“ DefTriangle 是定义三角形， equilateral 是等边。给它AB 这条边，它把顶点算出来，命名为 D。”

欧几里得说：“Till 用了 !.5!=、=sin(60)*2=、=90:(B) 三个修饰符才算出 D 点。你这里，一行。”

Alain 说：“因为 tkz-euclide 知道什么是‘等边三角形’。它不是从坐标出发，而是从几何对象出发。”

欧几里得指着下一行：

“ \tkzInterLC[near](D,B)(B,C) \tkzGetSecondPoint{G} 。”

“ InterLC 是 line-circle 相交， D,B 是直线 DB， B,C 是以 B 为圆心经过 C的圆。 \tkzGetSecondPoint{G} 是取第二个交点。”

欧几里得说：“所以你知道这条线和这个圆有两个交点，你取第二个。”

“对。”

“Till 那里，”欧几里得说，“他得先给圆起名字 H，给线起名字 B–F，然后告诉机器 of=H and B--F ，再让机器把交点命名成 intersection-1 ，然后他自己从=intersection-1= 里挑。你这里，两行，直接交，直接得。”

Alain 点点头：“因为 tkz-euclide 知道什么是圆，什么是直线，什么是它们的交点。它不需要‘路径’这个概念做中介。”

欧几里得指着最后几行：

“ \tkzDrawCircles(B,C D,G) 一句画两个圆； \tkzDrawLines[add=0 and 2](D,A D,B) 一句画两条线并延长； \tkzDrawSegment(A,B) 一句画线段； \tkzDrawSegments[red](A,L B,C) 一句画两条红色线段。 \tkzDrawPoints 、 \tkzLabelPoints 、 \tkzLabelCircle ……全是几何动作。”

他停了一下，说：

“Alain，你的代码，几乎不是代码。它是一份作图步骤的陈述。 DefPoint 、 DefTriangle 、 InterLC 、 DrawCircles 、 DrawLines 、 LabelPoints ——每一条命令，都是一个几何动作的名字。你不是在告诉机器怎么算，你是在告诉它——我要作什么。”

Alain 说：“这就是我写 tkz-euclide 的初衷。我教数学，我知道老师在黑板上是怎么说的：‘作等边三角形’、‘延长 AB’、‘交圆于 G’、‘连接 AL’。这些话，就是 tkz-euclide 的命令。”

欧几里得沉默了一会儿，说：

“Till 的代码，是我说‘以 A 为圆心、AB 为半径画圆’时，机器听到的样子。 Alain 的代码，是我说这句话时，我心里的样子。”

他看了看 Till，又看了看 Alain。

“Till 大神，你的 TikZ 把 TeX 变成了一个可以画任何图形的系统，这是开创性的。但通用是要付出代价的——几何题里的‘圆’、‘交点’、‘等边三角形’，都要先降解成坐标和路径。你在第一题里让我看到了这个代价，第二题让我看得更清楚。”

“Alain 的 tkz-euclide ，建立在你的 TikZ 之上。它没有另起炉灶，它是在你的地基上，把笛卡尔坐标那一层藏起来，把欧几里得几何那一层露出来。”

Till 说：“是。 tkz-euclide 就是我最希望看到的那类宏包：在 TikZ 之上，做TikZ 自己不做的事。”

Alain 说：“没有 TikZ ， tkz-euclide 不存在。”

欧几里得点点头：“这就是我为什么一直说，一个命题的价值，不在它自己能做什么，而在它能帮后面的命题做什么。TikZ 是第一题， tkz-euclide 是第二题。”

他站起来，看着屏幕上的两幅图——一幅是 Till 写的，一幅是 Alain 写的。它们画出来的图几乎一模一样。他不由得望向窗外，阳光，泉水叮咚，微寒的空气深吸一口。此时脑海中闪耀过的蛇状闪电已然平静，偶尔似夜幕中的烟花隐约，不过这些都在堤坝内，离决堤还远着呢。鼓足勇气再思考硅基生命。他知道它们离他很近，甚至能听到彼此的呼吸——一个风冷，一个液冷。它们已经欢快工作一个下午。他斗胆思考它们的食物，也就是他脑海中划过的闪电，是来自哪里。他想理出公理与定理来推理一下，又觉得心潮汹涌，喉咙发甜。他张嘴叫斐洛，天儿不早了，天黑留客吃饭，可不是天经地义的事儿么。斐洛说，欧老呀，这鸡毛小事儿怎劳您烦心，早备下了。面包，橄榄油，葡萄酒，肉脯早预好了。

还有一事，斐洛沉吟，据二位大神讲，欧老的《几何原本》，是在1000多年后的文艺复兴才为世人所见。中间的一两千年杳无音信，说什么黑暗中世纪，耶稣基督默罕默德我佛如来，感觉都扯淡不是根因。这千多年您的书，也就是您还没写完的《几何原本》到底怎么回事没人说得清，我他妈也不想知道。我想知道的是怎么给传过去，以什么形式。说到形式我至少知道您的纸莎草纸肯定不灵。羊皮纸也不知道行不行。二位大神，羊皮纸到底行不行哪？

Till说羊皮纸可能行。但羊皮纸贵，也保不齐能扛过千年。Alain，这样你看行不行？斐洛你想办法搞羊皮纸，尽快誊写。我们给带到文艺复兴发现《几何原本》的图书馆。笛前辈在历史长河中等着看呢还。欧说我还没写完呢嘿。Alain说没事儿，本来历史里记载的也不完整，有些意思吧，意思意思就行了，但意思不到就没意思了；斐洛！有一件事我们得再说一遍，你可能忘记：我们就是从文艺复兴前图书馆那时空来的，翻遍图书馆，没见欧老的书。另外历史中记载《几何原本》是羊皮书，而且不是手抄本，里面的插图，尤其不是手绘。

斐洛说我没忘，我已经通知欧老学 TikZ ，纸莎草纸已经过时。欧老学会 TikZ 没啥难度。但我没搞明白的是， TikZ 运行在大神的硅基生命体内，如何搬运到羊皮纸上？Alain说你要问原理那我可就不懂了，Till你懂吗？Till说我怎么可能懂。2035年硅基大神征服了程序员，程序员集体成智能体饲养员了。同时征服了最聪明的人类数学家，数学家成了硅基大神的天使。比如我们俩也就算小天使吧，满时空飞为硅基大神打杂。有大天使组团抵抗过几年，硅基大神看都没看一眼，就自己瓦解了。所有的数学猜想已获证明，包括黎曼猜想，所有的数学定理也已发现，包括时间力学。羊皮纸搬运这两台硅基终端可以做到。数学原理支撑是超时空打印定理，这定理由硅基大神首次发现并证明。证明过程有80亿行，全时空数学家没一个能完整看懂。Alain你能看懂吗？

Alain说我哪懂，我都不算个数学家，我也就是个乡村教师。但显然这定理正确的，不然我们俩也到不了此时此地。欧老，今天给您讲的不好，实在是能力有限，不是不卖力气那。欧老说那好吧，好多事我也是不敢想，一想脑袋疼，咱也不敢问，一问眼发黑。斐说，没事儿没事儿，多伟大的人也是碳基呐，咱碳基就不能啥都想明白，不能啥都懂。不过胆小怕死是咱碳基的优势嘛。我斐洛别的不敢说，羊的事可以包在我身上，欧老，看来咱得且吃好些时候的羊肉了，皮留着写书。欧说羊肉好呀，二位神想必也爱吃。Till Alain说爱吃爱吃，烤的，炖的，红烧，羊头羊蹄都好吃，不过最好吃还是涮羊肉。斐洛说涮羊肉办不了，没碳没火，没碳没铜，没铜没锅，再说俺们这芝麻酱韭菜花也没个着落啊。众人说说笑笑，度过深秋美丽的下午。